ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ НА ПЛОСКОСТИ
Ключевые слова:
фундаментальное решение, уравнение третьего порядка, функция Эйри, дисперсионные волны, автомодельные переменные, преобразование Фурье, линейные дисперсионные уравнения, уравнение Кортевега–де Фриза, группа растяжений, асимптотические оценки.Аннотация
Работа посвящена построению и обоснованию фундаментального решения линейного дифференциального уравнения в частных производных третьего порядка, представляющего собой двумерное обобщение классического уравнения Эйри. Используется комбинированный метод исследования: преобразование Фурье по пространственным переменным применяется для редукции исходного уравнения к линейному обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка относительно образа Фурье. Доказано, что символ дифференциального оператора факторизуется в сумму одномерных слагаемых, вследствие чего двумерное фундаментальное решение представимо в виде произведения двух одномерных фундаментальных решений уравнения Эйри. Получена явная аналитическая формула фундаментального решения, корректность которой подтверждена прямой аналитической проверкой удовлетворения исходному уравнению. Результаты дополняют теорию линейных дисперсионных уравнений нечётного порядка и могут служить основой для построения решений неоднородных задач и задач Коши методом свёртки с найденным ядром.
Скачивания
Библиографические ссылки
1. Hörmander L. The Analysis of Linear Partial Differential Operators I: Distribution Theory and Fourier Analysis. Berlin: Springer-Verlag, 1983. 440 p.
2. Vallée O., Soares M. Airy Functions and Applications to Physics. 2nd ed. London: Imperial College Press, 2010. 280 p.
3. Gardner C. S., Greene J. M., Kruskal, M. D., Miura, R. M. Method for Solving the Korteweg–de Vries Equation // Physical Review Letters. 1967. Vol. 19, No. 19. P. 1095–1097.
4. Whitham G. B. Linear and Nonlinear Waves. New York: Wiley-Interscience, 1974. 636 p.
5. Kadomtsev B. B., Petviashvili, V. I. On the Stability of Solitary Waves in Weakly Dispersing Media // Soviet Physics Doklady. 1970. Vol. 15. P. 539–541.
6. Linares F., Ponce G. Introduction to Nonlinear Dispersive Equations. 2nd ed. New York: Springer, 2015. 301 p.
7. Evans L. C. Partial Differential Equations. 2nd ed. Providence: American Mathematical Society, 2010. 749 p.
8. Olver P. J. Applications of Lie Groups to Differential Equations. 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1993. 513 p.
9. Bleistein N., Handelsman, R. A. Asymptotic Expansions of Integrals. New York: Dover Publications, 1986. 425 p.
10. Tao T. Nonlinear Dispersive Equations: Local and Global Analysis. Providence: American Mathematical Society, 2006. 373 p.
Загрузки
Опубликован
Выпуск
Раздел
Лицензия
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
License Terms of our Journal
